Esperanza matemática
La esperanza matemática (también
llamada valor esperado) de una variable
aleatoria discreta, es el valor medio de infinitas observaciones, también puede
interpretarse como un punto de equilibrio de la distribución de una probabilidad.
La definición “esperanza matemática” tiene su origen en los juegos de azar y hace referencia a la ganancia promedio esperada por
un jugador cuando hace un gran número de apuestas.
Constantes
La esperanza
matemática de una constante es igual a esa misma constante, es decir, si c es una constante, entonces E[c] = c.
Linealidad
La
esperanza es un, ya que:
![\operatorname{E}[X + Y]= \operatorname{E}[X] + \operatorname{E}[Y] \,\!](http://upload.wikimedia.org/math/a/1/5/a15cbeacea501a46fb32656efc4a870c.png)
(*) ![\operatorname{E}[aX]= a \operatorname{E}[X] \,\!](http://upload.wikimedia.org/math/4/b/d/4bdd6ba758248cbe75c558a1a34fdec6.png)
por ende:
donde X e Y son
variables aleatorias y a y b son
dos constantes cualesquiera.
Nótese
que (*) es válido incluso si X no es independiente de Y.
1.
La
esperanza matemática de una constante k es igual a la misma constante:
E (k) = k
Ejemplo : Aplicando la
propiedad E (k) = k se tiene que
a)
E (4)= 4
b)
E (16) = 16
2.
La
esperanza matemática de la suma de varias variables aleatorias es igual a la
suma de las esperanzas matemáticas de los sumandos:
E (X + Y) = E(X) + E
(Y)
Ejemplo:
Hallar la esperanza de las siguientes variables aleatorias:
|
X
|
1
|
2
|
3
|
|
P(X=x)
|
0,6
|
0,3
|
0,07
|
Aplicando
la propiedad: E (X + Y) = E(X) + E (Y)
E(X)
= [(1.0,6) + (2∙0,3) + (3∙0,07)]
0,6+ 0,6 + 0,21 =
E(x)
= 1,41
3. Un factor constante se puede
sacar fuera del signo de esperanza matemática:
E
(kX) = k ∙ E(X)
Ejemplo:
a) E(X)= 1,5
E (4X) = 4 ∙ E (X)
4 ∙ E (X) = 4. 1,5= 6
4. E (aX + b) = aE(X) + b
Ejemplo:
Sea X cualquier variable aleatoria discreta. Si la variable aleatoria 3X + 4 tiene
esperanza 2 ¿Cuál es la esperanza de X?
Se
tiene que E (3X + 4) = 1. Por consiguiente, aplicando la propiedad:
E
(aX + b) = aE(X) + b
2 = E (3X+4)= 3E(X) + 4
3E(X) = 2 - 4= -2, es
decir, E (X) = -2/3
Varianza
La varianza de una
variable aleatoria es una característica numérica que proporciona una idea de
la dispersión de la variable aleatoria respecto de su esperanza. Decimos que es
un parámetro de dispersión.
La definición es la
siguiente
:
Es, por tanto, el
promedio teórico de las desviaciones cuadráticas de los diferentes valores que
puede tomar la variable respecto de su valor medio teórico o esperanza.
En el caso de las
variables discretas, la expresión se convierte en:
Mientras que para las
variables continuas tenemos:
En ambos casos existe
una expresión equivalente alternativa y generalmente de cálculo más fácil:
Una de las
características de la varianza es que viene expresada en unidades cuadráticas
respecto de las unidades originales de la variable. Un parámetro de dispersión
derivado de la varianza y que tiene las mismas unidades de la variable
aleatoria es la desviación típica, que se define como la raíz cuadrada de la
varianza.
Propiedades
de la varianza
1. Var(X) ≥ 0
2. Var(k · X) = k2 · Var
(X)para todo numero real k.
3. Var(k) = 0 para todo numero real k.
4. Var(a · X + b) = a2 · Var(X) para todo par de números reales a i b.
5.
Var(X + Y) = Var(X)
+ Var(Y) únicamente en el caso que X
y Y sean independientes.
Ejemplos
1) Var (C) = 0. Lo que indica la propiedad es que:
La varianza de una constante es CERO. La
varianza mide la dispersión, claro está que una constante no puede tener
dispersión, por lo tanto la varianza es
cero.
Ejemplo:
C= 4 Siendo C una constante,
entonces tenemos que:
Var (C) = 0
2) Var(C.X) = C2 . Var(X) Lo que indica la propiedad es que: La
varianza del producto de una constante multiplicada por una variable, será
igual a la constante elevada al cuadrado multiplicada por la varianza de la
variable.
Ejemplo:
C= 6 ,
X= 4 Siendo C una constante y X una
variable aleatoria, entonces tenemos que:
Var(C.X) = C2 . Var(X)
Var(6 . 4) = 62 .
Var(4)
Var(24) = 36. 4
144= 144
3) Sí
X y Z son variable aleatoria cualquiera:
Var ( X + Z ) = Var
(X) + Var (Z) + 2 Cov ( X, Y )
Teniendo en cuenta que
la covarianza (Cov) de dos variables independientes es igual a CERO. Sí X y Z son dos variables independientes Cov (
X, Y ) = 0 por lo tanto:
Var ( X + Z ) = Var
(X) + Var (Z)
La varianza de la suma de dos variables independientes es igual a la suma de varianzas.
Ejemplo:
Var(X)= 3
Var(Z)= 9
Var ( X + Z ) = Var
(X) + Var (Z)
Var ( X + Z ) = 3 + 9
Var ( X + Z ) = 12
Desviación
estándar
Se define como la raíz cuadrada de
la varianza.
Ósea se la varianza
es= v(x)² la desviación estándar = √v(x)
La desviación estándar
denotada con la variable SX, corresponde a la raíz cuadrada de la varianza tomada con
signo positivo
SX = + 
S2X
1. La
desviación estándar será siempre un valor positivo o cero Sx ≥ 0
2. La
deviación estándar es invariante ante cambios de origen SX + x = SX
3. La
deviación estándar se modifica ante cambios de escala: ScX = |c| SX
Ejemplo
en general
Tú y tus amigos habéis
medido las alturas de vuestros perros (en milímetros):
Las alturas (de los
hombros) son: 600mm, 470mm, 170mm, 430mm y 300mm.
Calcula la media, la
varianza y la desviación estándar.
Respuesta:
|
Media =
|
600 + 470 + 170 +
430 + 300
|
=
|
1970
|
= 394
|
|
|
|
|
5
|
5
|
así que la altura
media es 394 mm. Vamos a dibujar esto en el gráfico:
Ahora calculamos la
diferencia de cada altura con la media:
Para calcular la
varianza, toma cada diferencia, elévala al cuadrado, y haz la media:
|
Varianza: σ2 =
|
2062 + 762 + (-224)2 + 362 + (-94)2
|
=
|
108,520
|
= 21,704
|
|
|
|
|
5
|
5
|
Así que la varianza es
21,704.
Y la desviación estándar
es la raíz de la varianza, así que:
Desviación estándar: σ = √21,704 = 147
y lo bueno de la
desviación estándar es que es útil: ahora veremos qué alturas están a distancia
menos de la desviación estándar (147mm) de la media:
Así que usando la
desviación estándar tenemos una manera "estándar" de saber qué es
normal, o extra grande o extra pequeño.
Los Rottweilers son perros grandes. Y los Dachsunds son un poco menudos... ¡pero que no se
enteren!
*Nota:
¿por qué al cuadrado?
Elevar cada diferencia
al cuadrado hace que todos los números sean positivos (para evitar que los
números negativos reduzcan la varianza)
Y también hacen que
las diferencias grandes se destaquen. Por ejemplo 1002=10,000 es mucho más grande
que 502=2,500.
Pero elevarlas al
cuadrado hace que la respuesta sea muy grande, así que lo deshacemos (con la
raíz cuadrada) y así la desviación estándar es mucho más útil.
![\operatorname{E}[X + c]= \operatorname{E}[X] + c \,\!](http://upload.wikimedia.org/math/8/5/a/85a00d2da36ee53533b8d5f1e9842642.png)
![\operatorname{E}[a X + b Y] = a \operatorname{E}[X] + b \operatorname{E}[Y] \,\!](http://upload.wikimedia.org/math/2/3/d/23db5270f4369a806d5c98e254da0c3f.png)
