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domingo, 16 de noviembre de 2014


                     Distribucion de probabilidad en ciencias de la salud

Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que pueden representarse como resultado de un experimento si éste se llevase a cabo.

Es decir, describe la probabilidad de que un evento se realice en el futuro, constituye una herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de diversos fenómenos naturales.

Toda distribución de probabilidad es generada por una variable (porque puede tomar diferentes valores) aleatoria x (porque el valor tomado es totalmente al azar), y puede ser de dos tipos discreta y continua.

La distribucion de la probabilidad en las ciencias de la salud sirve para comprobar la eficacia o el fracaso de algún fármaco o bien para llevar un control sobre las incidencias de algunas enfermedades, en la rama epidemiológica. También sirve para conocer las posibles consecuencias que pueda conllevar la presencia de alguna patología. Ejemplo la probabilidad que existe que una enfermedad que afecte al 40% por ciento de una población pudiera llegar a convertirse en una enfermedad contagiosa, esto mediante experimentos que se realicen tomando en cuenta el número de personas que la padecen, el tiempo con el cual fueron contagiados y la manera de propagacion de la enfermedad.

propiedades de la esperanza matemática, de la varianza y desviación estándar



Esperanza matemática
                                                               
            La esperanza matemática (también llamada valor esperado)  de una variable aleatoria discreta, es el valor medio de infinitas observaciones, también puede interpretarse como un punto de equilibrio de la distribución de una probabilidad.

            La definición “esperanza matemática”  tiene su origen en los juegos de azar y hace  referencia a la ganancia promedio esperada por un jugador cuando hace un gran número de apuestas.

Constantes

La esperanza matemática de una constante es igual a esa misma constante, es decir, si c es una constante, entonces E[c] = c.

Linealidad

La esperanza es un, ya que:
                  \operatorname{E}[X + c]=  \operatorname{E}[X] + c \,\!
            \operatorname{E}[X + Y]=  \operatorname{E}[X] + \operatorname{E}[Y] \,\! (*)
            \operatorname{E}[aX]= a \operatorname{E}[X]  \,\!
por ende:
\operatorname{E}[a X + b Y] = a \operatorname{E}[X] + b \operatorname{E}[Y]  \,\!

donde X e  Y son variables aleatorias  y a y b son dos constantes cualesquiera.
Nótese que (*) es válido incluso si X no es independiente de Y.


1. La esperanza matemática de una constante k es igual a la misma constante:
E (k) = k
Ejemplo : Aplicando la propiedad E (k) = k se tiene que
a) E (4)= 4
b) E (16) = 16

2. La esperanza matemática de la suma de varias variables aleatorias es igual a la suma de las esperanzas matemáticas de los sumandos:
E (X + Y) = E(X) + E (Y)
Ejemplo:
 Hallar la esperanza de las siguientes variables aleatorias:
X
1
2
3
P(X=x)
0,6
0,3
0,07

Aplicando la propiedad: E (X + Y) = E(X) + E (Y)
E(X) = [(1.0,6) + (2∙0,3) + (3∙0,07)]
              0,6+ 0,6  + 0,21 =
E(x) = 1,41

3. Un factor constante se puede sacar fuera del signo de esperanza matemática:
E (kX) = k ∙ E(X)
Ejemplo:
a)  E(X)= 1,5
E (4X) = 4 ∙ E (X)
4 ∙ E (X) = 4. 1,5= 6


4. E (aX + b) = aE(X) + b
Ejemplo: Sea X cualquier variable aleatoria discreta. Si la variable aleatoria 3X + 4 tiene esperanza 2 ¿Cuál es la esperanza de X?
Se tiene que E (3X + 4) = 1. Por consiguiente, aplicando la propiedad:
E (aX + b) = aE(X) + b
                     2 = E (3X+4)= 3E(X) + 4
                      3E(X) = 2 - 4= -2, es decir, E (X) = -2/3


Varianza

La varianza de una variable aleatoria es una característica numérica que proporciona una idea de la dispersión de la variable aleatoria respecto de su esperanza. Decimos que es un parámetro de dispersión.

La definición es la siguiente
:

Es, por tanto, el promedio teórico de las desviaciones cuadráticas de los diferentes valores que puede tomar la variable respecto de su valor medio teórico o esperanza.
En el caso de las variables discretas, la expresión se convierte en:
Mientras que para las variables continuas tenemos:



En ambos casos existe una expresión equivalente alternativa y generalmente de cálculo más fácil:


Una de las características de la varianza es que  viene expresada en unidades cuadráticas respecto de las unidades originales de la variable. Un parámetro de dispersión derivado de la varianza y que  tiene las mismas unidades de la variable aleatoria es la desviación típica, que se define como la raíz cuadrada de la varianza.


Propiedades de la varianza
1.    Var(X) ≥ 0
2.    Var(k · X) = k2 · Var (X)para todo numero real k.
3.    Var(k) = 0 para todo numero real k.
4.    Var(a · X + b) = a2 · Var(X) para todo par de números reales a i b.
5.    Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) únicamente en el caso que X y Y sean independientes.

Ejemplos

1)      Var (C) = 0.  Lo que indica la propiedad es que: La varianza de una constante es CERO.  La varianza mide la dispersión, claro está que una constante no puede tener dispersión,  por lo tanto la varianza es cero.

Ejemplo:

C=  4                    Siendo C una constante, entonces tenemos que:
Var (C) = 0

2)      Var(C.X) = C2 . Var(X)       Lo que indica la propiedad es que: La varianza del producto de una constante multiplicada por una variable, será igual a la constante elevada al cuadrado multiplicada por la varianza de la variable.

Ejemplo:

C= 6  ,  X=  4              Siendo C una constante y X una variable aleatoria, entonces tenemos que:

Var(C.X) = C2 . Var(X)
Var(6 . 4) = 62 . Var(4)
Var(24) = 36. 4
144=  144

3)      Sí  X y Z son variable aleatoria cualquiera:

Var ( X + Z ) = Var (X) + Var (Z) + 2 Cov ( X, Y )

Teniendo en cuenta que la covarianza (Cov) de dos variables independientes es igual a CERO. Sí  X y Z son dos variables independientes Cov ( X, Y ) = 0 por lo tanto:

Var ( X + Z ) = Var (X) + Var (Z)

La varianza de la suma  de dos variables independientes es igual a la suma de varianzas.

Ejemplo:

Var(X)= 3
Var(Z)= 9

Var ( X + Z ) = Var (X) + Var (Z)
Var ( X + Z ) = 3 + 9
Var ( X + Z ) = 12

Desviación estándar


            Se define como la raíz cuadrada de la varianza. 
Ósea se la varianza es= v(x)² la desviación estándar = √v(x)


La desviación estándar denotada con la variable SX, corresponde a la raíz cuadrada de la varianza tomada con signo positivo
            SX = + S2X

1.    La desviación estándar será siempre un valor positivo o cero Sx ≥ 0

2.    La deviación estándar es invariante ante cambios de origen SX + x = SX

3.    La deviación estándar se modifica ante cambios de escala: ScX = |c| SX


Ejemplo en general


Tú y tus amigos habéis medido las alturas de vuestros perros (en milímetros):

Las alturas (de los hombros) son: 600mm, 470mm, 170mm, 430mm y 300mm.
Calcula la media, la varianza y la desviación estándar.

Respuesta:

Media =  
600 + 470 + 170 + 430 + 300
  =  
1970
  = 394
5
5
así que la altura media es 394 mm. Vamos a dibujar esto en el gráfico:



 
Ahora calculamos la diferencia de cada altura con la media:


 
Para calcular la varianza, toma cada diferencia, elévala al cuadrado, y haz la media:
Varianza: σ2 =  
2062 + 762 + (-224)2 + 362 + (-94)2
  =  
108,520
  = 21,704
5
5
Así que la varianza es 21,704.
Y la desviación estándar es la raíz de la varianza, así que:
Desviación estándar: σ = √21,704 = 147
y lo bueno de la desviación estándar es que es útil: ahora veremos qué alturas están a distancia menos de la desviación estándar (147mm) de la media:

Así que usando la desviación estándar tenemos una manera "estándar" de saber qué es normal, o extra grande o extra pequeño.
Los Rottweilers son perros grandes. Y los Dachsunds son un poco menudos... ¡pero que no se enteren!

*Nota: ¿por qué al cuadrado?

Elevar cada diferencia al cuadrado hace que todos los números sean positivos (para evitar que los números negativos reduzcan la varianza)
Y también hacen que las diferencias grandes se destaquen. Por ejemplo 1002=10,000 es mucho más grande que 502=2,500.
Pero elevarlas al cuadrado hace que la respuesta sea muy grande, así que lo deshacemos (con la raíz cuadrada) y así la desviación estándar es mucho más útil.



domingo, 12 de octubre de 2014

PROBABILIDAD Y SALUD

Concepto de probabilidad:

  El primer paso para descubrir y analizar el significado del término probabilidad es establecer su origen etimológico. En este caso hay que subrayar que el mismo se encuentra en el latín, y más exactamente en la palabra probabilitas, que está formada por la unión del verbo probare que puede traducirse como “comprobar”, el sufijo –bilis que equivale a “posibilidad” y el también sufijo –tat- que lo que viene a indicar es una “cualidad”.

  Con lo antes expuesto podemos definir la probabilidad como  una rama de las matemáticas que se ocupa de medir o determinar cuantitativamente la posibilidad de que un suceso o experimento produzca un determinado resultado. La probabilidad está basada en el estudio de la combinatoria y es fundamento necesario de la estadística.

Concepto de salud:

   Según la definición presentada por la Organización Mundial de la Salud (OMS) en su constitución aprobada en 1948 define la salud "como un  estado de completo bienestar físico, mental y social, y no solamente la ausencia de afecciones o enfermedades." En la salud, como en la enfermedad, existen diversos grados de afectación y no debería ser tratada como una variable dicotómica. Así, se reformularía de la siguiente manera: "La salud es un estado de bienestar físico, mental y social, con capacidad de funcionamiento, y no sólo la ausencia de afecciones o enfermedades”. También puede definirse como el nivel de eficacia funcional o metabólica de un organismo tanto a nivel micro (celular) como a nivel macro (social). En 1992 un investigador amplió la definición de la OMS, al agregar: "y en armonía con el medio ambiente”.

   Dentro del contexto de la promoción de la salud, la salud ha sido considerada no como un estado abstracto, sino como un medio para llegar a un fin, como un recurso que permite a las personas llevar una vida individual, social y económicamente productiva. La salud es un recurso para la vida diaria, no el objetivo de la vida. Se trata de un concepto positivo que acentúa los recursos sociales y personales, así como las aptitudes físicas.


                                          

La probabilidad es la capacidad de determinar que un evento suceda entre tantos eventos posibles.  La probabilidad puede ser usada  en la actualidad para determinar un evento y tomar las medidas más favorables ante este, para la sociedad.

 Esta rama de la matemática podemos usarla en el área de la salud para determinar si un  medicamento experimental va a funcionar contra cierta enfermedad, también es usada para determinar si una enfermedad se pueda propagar a ciertos lugares tomando en consideración el ambiente y el tiempo de incubación de dicha enfermedad. Se puede decir razonablemente que el descubrimiento de métodos rigurosos para calcular y combinar los cálculos de probabilidad ha tenido un profundo efecto en la sociedad moderna. Por consiguiente, puede ser de alguna importancia para la mayoría de los ciudadanos entender cómo se calculan los pronósticos y las probabilidades, por ejemplo  que un virus se propague en todo un país por ejemplo el del abola o el VIH.



Ejemplo de probabilidad y salud


1)      En un laboratorio de medicamentos experimentales, se realiza un estudio de 2 nuevos medicamentos  contra el cáncer de colon se uso una muestra de 150 personas, 90 toman el medicamento A, 60 toman el medicamento B Y 50 personas presentaron mejorías.


Cuál es la probabilidad de que:
·         Sea grupo A:
90/150= 0,6
·         Sea grupo B:
60/150= 0,4
·         Grupo A o presento mejoría:
110/150= 0,733
·         Grupo B o presento mejoría:
90/150= 0,6
·         Personas que presentaron mejorías:
50/150= 0,333


 2)      Para la población de personas con cáncer en el estado Mérida. Se relaciono en el reporte anual de los principales centros de salud, la siguiente información:


       Centro
     De Salud.
                                           Tipo de cáncer
         mama
        colon
      pulmón
        total
    IAHULA
          200
          120
          80
         400
        IVSS
         150
           60
          70
         280
“ Sor Juana Inés de la Cruz”
         210
           54
          35
         299
       Total
           560
          234
           185
        979       

Fuente: datos supuestos.



Si se selecciona un paciente al azar de los que se incluyeron en el reporte:

·         ¿Cuál es la probabilidad de que su cáncer no sea de pulmón?
A: pulmón
A°: personas que no tienen cáncer de pulmón.
P (A) =185/979= 0,1889
P(A°) = 1-P(A)
P(A°) = 1-0,1889= 0,8111

·         ¿Cual es la probabilidad de que provenga del IVVS o del IAHULA?

            B: persona que proviene del IVSS.
            C: Persona que proviene del IAHULA.
Se tiene que B ʌ C= Ǿ, Por tanto:
           P (B ʌ C) = P (B) + P(C)
           P (B) = 400/979 = 0,412
           P (C)= 280/979 = 0,204
           P (B ʌ C) = 0,412+ 0,204 = 0,616.